정사각형
정사각형은 어떤 도형일까요?
정사각형은 마치 우주선 같습니다. 원시인에게 정사각형은 마치 우리가 우주선을 생가하는 것과 같았지요.
그렇게 특이하게 생긴 도형을 볼 수 없었기 때문이지요. 손수 지은 집도 한 채 없었고, 자연에는 정사각형이 존재하지 않아서 예전에는 정사각형이 없었답니다. 하지만 잘 살펴보면 원은 있었답니다. 달의 모양이나 물속에 던진 돌멩이가 만드는 원, 데이지 꽃의 화관이나 무지개 같은 원 말이지요. 달팽이 껍데기 같은 나선형 모양은 볼 수 있지만, 분명 정사각형은 보지 못했을 겁니다.
실제로 원시인의 첫 집은, 동굴 다음에 원형 모양이었습니다. 동물 가죽으로 덮은 단순한 원형 오두막이지요. 정사각형은 원시인에게는 미래 지향적인 물체였습니다. 정사각형의 집을 생각하고, 계획하고, 짓는 일은 좀 더 높은 차원의 지능을 요구했습니다.
그런데 정사작형이 등장하자 완전히 주인공이 되었습니다. 유명한 그리스의 역사가 헤로도토스는 4천 년 전에 이집트의 파라오 세소스트리스가 나일강 가의 땅을 수많은 정사각형으로 나눴다고 말합니다. 모두 똑같은 정사각형으로 분할해서 국민들에게 나눠 주고 일구게끔 했답니다. 대신에 국민들은 매년 세금을 내야 했습니다.
나일강이 그 땅에 물을 댄 덕분에 이집트 삼각주는 매우 비옥했습니다. 하지만 땅의 경계선을 바꾸기도 하고 심지어 땅의 일부를 쓸어가 버리기도 했어요. 그래서 땅의 주인이 세소스트리스에게 찾아가 예전과 똑같은 세금을 내는 건 부당하다고 하소연을 했다고 합니다. 그러자 파라오는 신하들을 시켜 땅이 얼마나 줄었는지를 측량하게 하고, 그 결과를 바탕으로 새로 세금을 징수했지요.
헤로도트스는 이 일이 있은 후 기하학이 발명되었다고 믿고 있습니다. 그러니까, 땅 위의 정사각형을 만들고 또 만듦으로써 기하학이 생긴 거지요. 기하학이란 말은 실제로 땅의 크기, 토지의 측정을 의미합니다. 파라오의 신하들은 밧줄과 나무 막대기를 가지고 작업을 시작했어요. 막대기를 정사각형의 꼭짓점에 꽂은 다음 각 꼭짓점들을 밧줄로 연결했지요. 팽팽한 줄은 선 구실을 했답니다. 그리고 이 줄을 따라 경계선이 그어졌어요. 사실, 이 일을 하는 전문가를 ‘줄을 당기는 사람’이라고 했습니다. 오늘날 우리말 표현에 ‘줄을 당기다.’라는 말에도 바로 이런 기억이 남아있는 거지요. ‘선(line)’이라는 말도 리넨(linen)에서 유래했는데, 리넨은 줄을 만들던 재료랍니다.
땅을 재는 데 있어서 직사각형 대신에 정사각형을 선택한 이유는 무얼까요?
여러 형태의 직사각형 중 길거나 좁든, 짧거나 넓든 간에 길이만큼 넓은 것, 그러니까 변의 길이가 모두 같은 것이 가장 넓습니다. 예를 들어 볼까요? 밑변이 10이고 길이가 90인 직사각형을 있어요. 넓이는 10x90=900이지요. 밑변이 80x20이면, 넓이는 80x20=1600이고, 그런데 밑변이 50이고 길이가 50이면, 넓이는 무려 50x50=2500입니다. 따라서 여러 형태의 직사각형 중 최소의 둘레로 최대의 넓이를 보장하는 정사각형을 선택해야 합니다.
집을 지을 때도 바깥벽에 드는 비용을 아끼려면 정사각형의 설계도를 선택해야 합니다.
넓이가 같을 경우, 둘레의 길이가 최소인 형태는 정사각형이지요. 그러면 담장을 쌓는 비용도 절약할 수 있답니다.
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