아이들이 가장 궁금해하는 수학이 무엇이며 왜 필요한 것인지 알려면 어떻게 해야 할까요? 우리의 일상생활을 자세히 살펴보면 신기한 수학의 원리가 보입니다.
‘보인다 보여, 수학 세상’은 학생들이 가장 힘들어 하는 ‘수학’에 대한 이야기입니다. 일상생활에서 거스름 돈을 계산하거나, 사람 수를 세거나 치자를 같은 크기로 나눌 때 우리는 자연스럽게 수학을 사용하게 되지요.
세상의 모든 일에는 법칙이 숨어 있어요.
언제나 그러 건 아니지만 민이는 걸어서 학교에 갑니다. 비가 오는 날은 아빠가 자동차로 데려다주시고요. 준이는 아침에 밥을 먹어요. 언제나 그런 건 아니에요. 설날에는 떡국을 먹고, 배탈이 나면 죽을 먹기도 하지요. 민이와 준이는 서로 친해요. 하지만 언제나 그런 건 아니고, 가끔 말다툼을 벌이기도 합니다. ‘비를 맞으면 감기에 걸린다.’ 그러나 언제나 그렇지는 않아요. 감기에 걸릴 수도 있고 안 걸릴 수도 있지요. 이런 일들은 법칙이라고 말할 수 없습니다. 법칙은 언제 어디서나 똑같이 일어나는 일이나 관계를 의미해요. 즉 변하지 않는 것을 말합니다.
2에 5를 더하면 7이 되고, 7에 5를 더하면 12가 되지요. 지구가 태양을 도는데는 365일이 걸립니다. 이런 일을 모두 법칙이라고 합니다. 누구나 당연하게 여기고 언제나 변하지 않는 일들이지요. 세상에 벌어지고 있는 일 가운데는 법칙이 숨어 있는 경우가 많습니다. 이 중에는 우리가 알고 있는 일도 미처 몰랐던 일도 있답니다. 아주 옛날에는 태양이 지구를 믿고 있다고 믿었었어요. 그러나 지구가 돈다는 주장을 한 갈릴레이가 종교 재판을 받았어요. 하지만 오늘날에 그 어느 누구도 갈릴레아의 주장이 틀렸다고 하는 사람은 없지요. 그것은 이 주장이 세상의 참된 이치이기 때문입니다. 우리는 이것을 진리라고 해요.
숨어 있는 법칙을 찾는 거에요.
이집트에 있는 나일 강 지역은 인류 문명이 발생한 곳입니다. 이 지역은 오랜 옛날 홍수 때문에 나일 강의 강물이 자주 넘쳐서 주변의 땅이 모두 물에 잠기곤 했지요. 그런데 나일 강은 해마다 비슷한 시기에 넘치곤 했어요. 사람들은 하늘의 별을 관찰해 홍수가 나는 시기를 알아냈지요. 매년 나일 강이 넘치기 시작해 끝나고 다시 홍수가 나는 시간을 계산해 보니 365일이 걸린다는 것을 알아냈어요. 매년 시리우스 별이 같은 자리에 나타나면 홍수가 났는데 그 시간이었던 것이지요. 이것은 지구가 공전을 하는 시간입니다. 그래서 365일을 1년으로 정하게 되었고, 홍수가 나는 시기도 해마다 추측할 수 있게 되었지요.
그런데 이것은 정확하지 않았어요. 지구의 공전은 365일보다 약간 더 길었거든요. 그래서 이집트 왕은 4년마다 마지막 날을 휴일로 정해 하루를 늘렸어요. 윤년은 4년에 한 번씩, 2월이 29일까지 있는 해입니다. 그래서 1582년 로마 교황 그레고리 13세는 100으로 나누어지는 해를 윤년에서 제외시켰어요. 이것이 오늘날 우리가 쓰는 그레고리력이라 불리는 달력입니다.
숨어 있는 법칙을 찾는 것은 힘든 일입니다. 오랜 탐구를 통해 만들어지지요. 수학과 과학은 우리가 사는 세상에 숨어 있는 법칙을 찾은 거예요. 우리는 이것을 발견이라고 해요. 발견은 지금까지 세상에 알려지지 않았거나 아무도 생각하지 못했던 이치를 처음으로 찾아내는 거에요. 발명이 없던 것을 새로 만들어 내는 일이라면, 발견은 미처 몰랐던 것을 알아내는 일이랍니다.
세상을 탐구하는 일이에요.
이집트 사람들이 나일 강의 홍수가 언제쯤 일어나는지 알고 나자 또 다른 문제가 생겼어요. 홍수가 지나고 물에 잠겼던 땅에 물이 빠지고 나면 땅의 모양이 변해 있었던 거예요. 원래 모양대로 있는 땅은 거의 찾아 볼 수가 없었어요. 그래서 사람들은 자기 땅을 찾으려고 서로 다투었어요. 그러다 보니 땅의 모양에 관심을 갖게 되었고, 결국 도형을 생각하게 되었지요. 3개의 선분으로 둘러싸인 삼각형, 4개의 선분으로 둘러싸인 도형을 사각형이라고 불렀어요. 사다리꼴, 원 모양도 생각하게 되었어요. 그래서 땅의 모양이 달라도 얼마든지 넓이를 구할 수 있게 되었답니다.
이처럼 수학은 생활 속 경험에서 시작되었습니다. 과학은 주로 자연 세계를 포함한 우리가 경험하는 모든 일에서 세상의 법칙들을 따져 보고 알아내는 거에요. 즉 세상을 탐구하는 일이지요. 수학은 세상에서 일어나는 일들에서 법칙을 발견하고 원리를 만드는 거에요. 살면서 당연하다고 느끼는 것들이 왜 그런지를 설명하는 거랍니다. 덧셈과 곱셈, 뺄셈과 나눗셈, 그리고 넓이와 부피… 모두 세상살이에서 알게 되고, 숨어 있는 원리를 탐구하고 발견하는 것입니다.
기호를 사용하면 간단해요.
수학에서는 숫자와 수학 기호로 정확한 약속을 합니다. 사람들이 처음 물건을 셀 때 10개씩 묶어서 세면 편리하다는 것을 발견하고 10개의 숫자를 만들었어요. 그건 우리가 열 손가락을 가졌기 때문입니다. 그런데 큰 숫자를 세자니 손가락을 몇 번이나 꼽았다 폈다 해도 헷갈렸어요. 그래서 숫자를 만들었습니다. 숫자가 있으니까 아무리 큰 수라도 쉽게 나타낼 수 있었지요. 게다가 훨씬 간단하고 편리해졌습니다.
옛날에는 나라마다 숫자가 달랐고, 수학 기호도 없었어요. 고대 이집트에서는 물체의 모양을 본떠서 만든 상형 숫자를 썼습니다. 또 바빌로니아에서는 쐐기 모양으로 숫자를 표시했어요. 하지만 지금은 전 세계 사람들이 아라비아 숫자를 쓰고 있어요. 같은 기호로 수를 나타내자는 약속을 하게 된 겁니다. 무역도 하고 문화와 학문을 서로 교류해야 하기 때문에 약속이 필요했던 것이지요. ‘더하기, 빼기, 곱하기, 나누기, 같다’를 ‘➕, ➖,➗,✖️,=‘와 같이 약속된 기호로 나타냈습니다. 이렇게 수학 기호를 사용하면 짧게 나타낼 수 있지요. 이처럼 수학 기호는 간편한 약속입니다. 수학은 세상의 법칙을 발견하고 그것을 통해 원리를 만든 거라서 복잡한 법칙을 간단하게 나타내기 위해 기호가 필요한 거지요.
생각을 해 보면 방법이 있어요.
콩쥐는 지금 튼 통에 가득 들어 있는 콩을 세야만 해요. 콩쥐의 엄마가 팥쥐와 잔치에 가면서 시킨 일이지요. 콩쥐도 잔치에 가고 싶었습니다. 과연 콩쥐는 팥을 다 세고 잔치에 갔을까요? 콩쥐는 결국 잔치에 갔습니다. 어떻게 갔을까요? 참새가 콩쥐를 도운 걸까요? 처음에 콩쥐는 울기만 하다가 곰곰이 생각을 했어요. 콩을 손쉽게 셀 수 있는 방법이 없을까 하고요. 그러다 콩쥐는 먼저 작은 통을 구해서 콩을 가득 담았습니다. 작은 통의 콩을 세어보니 모두 520개였어요. 그다음에 콩쥐는 큰 통의 가로와 세로를 재서 큰 통의 가로와 세로가 작은 통의 10배씩 된다는 사실을 알아냈어요. 작은 통을 가로로 10개, 세로로 10개씩 늘어놓으면 모두 100개가 되지요. 이것이 바로 큰 통의 밑넓이가 되는 거지요. 그리고 큰 통의 높이도 작은 통의 10배가 되니까 10개의 단을 쌓은 게 됩니다. 큰 통의 밑넓이와 높이를 이용하면 크기를 알 수 있어요. 100개 X100단=1,000개, 즉 큰 통은 작은 통 1,000개를 합쳐 놓은 크기인 셈입니다. 작은 통에 520개가 들어 있었으니, 520x1,000배=520,000개라는 것을 알게 된 거지요. 콩쥐는 콩을 모두 세지 않고도 대략 어느 정도인지를 알게 된 것입니다.
고대 그리스 수학자 아르키메데스는 우주에 모래를 가득 채우는 상상을 하고는 모래 알갱이를 모두 세는 방법을 생각했어요. 콩쥐가 생각해 낸 방법과 같은 겁니다. 이렇게 생각해 보면 아무리 어려운 문제라도 답을 찾을 수 있을 겁니다.
나만의 방법이 필요해요.
준이가 블록 쌓기를 하고 있어요. 맨 아래부터 차곡차곡 쌓은 블록은 피라미드 모양입니다. 블록이 모두 몇 개야?” 선이가 물었어요. 준이는 블록의 맨 위에서부터 차례로 세어 갔어요 그런데 아래로 갈수록 수가 점점 많아져서 세기가 힘들어집니다. 그런데 민이가 종이에 써서 합을 구하는 방법을 알려 주었어요. 이 방법은 수학자 가우스가 아홉 살 때 생각해 낸 방법입니다. ‘1부터 100까지의 수를 더하라.’ 가우스는 문제를 내자 눈 깜짝할 사이에 계산을 했답니다. 만일 1,2,3,4, …. 차례대로 100까지 더하자면 한참 걸릴 거예요. 하지만 가우스는 자신만의 방법을 생각했던 겁니다. 가우스가 발견한 방법은 자연수의 합을 구하는 수학의 원리가 되었어요. 이렇게 어떤 문제가 있을 때 자신만의 방법을 찾아 해결해 보면 좋습니다.
우리 가까이 있어요.
시소를 탈 때 몸이 무거울수록 중심으로부터의 거리를 짧게 하고, 가벼울수록 거리를 길게 합니다. 이것을 지렛대의 원리라고 하는데요. 아르키메데스는 이 원리를 이용해 큰 배를 들어 올렸답니다. 지렛대를 수평이 되도록 만든 것이지요. 아르키메데스는 긴 지렛대만 있다면 지구도 들어 올릴 수 있다고 큰소리를 쳤습니다.
우리 주위를 살펴보면 수학이 보입니다. 꿀벌의 집은 정육각형 모양이고, 매미들이 13년이나 17년마다 태어나는 건 이유가 있습니다. 욕실의 타일이나 보도블록의 벽돌을 살펴보세요. 왜 길에 있는 맨홀 뚜껑은 모두 원형일까요? 신용 카드나 명함은 왜 모두 같은 모양일까요? 이런 의문 속에는 모두 수학의 원리가 숨어 있답니다.
수학은 우리 생활에 쓰이지 않거나 눈에 보이지 않는 생각을 다룰 때가 있지요. 그래서 수학은 아무런 쓸모가 없다고 생각할 수 있답니다. 하지만 수학을 하면 지혜가 생기고, 생각하는 힘이 커집니다. 수학을 하려면 세상 모든 일에 숨어 있는 원리를 따져 보고 이해를 해야 하기 때문이죠.
증명이 필요해요.
다른 사람을 이해시키려면 논리적으로 설명해야 돼요. 증명은 논리적으로 설명하는 거에요. 수학은 생각을 표현하는 것입니다. 하지만 아무렇게나 생각하는 것이 모두 수학은 아니지요. 발견한 법칙이나 원리를 모든 사람들이 이해할 수 있도록 논리에 맞게 제대로 설명할 수 있어야 해요.
탈레스는 아무리 당연한 것이라도 증명을 해서 분명하게 해야만 수학이 된다고 생각했습니다. 탈레스 이전에도 수학 문제를 풀거나 정리해서 책을 만든 사람이 있었지만, 증명을 해서 분명한 이론으로는 만들지 못했어요. 그래서 사람들은 탈레스를 최초의 수학자라고 부릅니다. 탈레스는 ‘서로 만나는 두 직선이 있을 때 마주 보는 각의 크기는 서로 같다, 이등변 삼각형은 두 밑각의 크기가 같다, 그리고 원은 지름에 의해 이등분된다.’라는 명제들을 처음 증명했습니다.
논리적으로 확실히 증명해야만 세상 모든 사람들이 수학 원리를 분명한 진리로 받아들일 수 있습니다. 그래서 수학에서는 증명을 하지 못해 아직도 해결하지 못한 문들이 있지요. 이런 문제 들을 ‘가설’이나 ‘추측’이라고 부릅니다.
기계의 힘을 빌리지 않아요.
수학자 탈레스는 피라미드 그림자 길이로 피라미드의 높이를 알아냈어요. 수학의 지혜는 이렇게 직접 보지 않고도 높이나 거리를 알 수 있게 해 줍니다. 이런 지혜는 생각하는 힘에서 나오지요. 생각하는 힘은 문제를 해결하게 해 줍니다. 기계의 힘을 빌리지 않고도, 직접 해 보지 않아도 생각을 해 보면 알 수 있어요.
생각을 하면 길이 보여요.
민이와 준이, 선이는 동굴 탐사를 하러 갔어요. 호기심이 많은 민이는 동굴 탐사를 아주 좋아해요. 동물에 들어가 자꾸만 이리저리 꼬불꼬불한 길로 갔어요. 그런데 그만 동굴 입구에서 아주 멀이 와 버렸어요. 선이는 동굴에 들어가기 전에 실을 준비했어요. 실 끝을 동굴 입구에 묶어 놓고 실을 조금씩 풀면서 동굴로 들어갔어요. 동굴 밖으로 나올 때는 실을 따라 걸어 나왔습니다. 준이는 하얀 분필을 준비해서 갈라지는 곳이 나올 때마다 ‘ㅈ’으로 표시를 해 두었지요. 그런데 민이는 아무것도 준비하지 않았어요. 그래서 민이는 곰곰이 생각했어요. 민이는 동굴 입구에서부터 어떻게 걸어왔는지 생각해 보았어요. 하지만 잘 떠오르지 않았습니다. ‘누군가 동굴 속에 길을 만들었다면 그 사람도 다시 돌아 나왔을 거야. 그렇다면 반환점이 분명 있을 테지.’ 한쪽 벽만 따라가다 보면 어딘가 반환점이 있을 것 같았어요. 민아는 왼쪽 벽을 택하고 계속 따라갔어요. 왼쪽 벽을 따라서 계속 걸어가자 캄캄한 동굴 저 멀리 밝은 빛이 보였어요. 맞아요. 동굴 안에서 길은 왼쪽과 오른쪽 두 개의 벽 사이에 있어요. 어느 벽이든 동굴 입구와 연결되어 있지요. 그래서 한쪽 벽만 따라가면 입구로 다시 나올 수 있답니다. 민이가 생각해 낸 방법은 수학자 위너가 증명한 ‘벽 따르기’ 법이랍니다. 민이가 동굴에서 길을 잃었지만 당황하지 않고 생각을 해서 숨어 있는 길이 보였던 것이지요. 생각을 하면 수학이 보인답니다.
하부르타식 질문:
수학은 우리 생활에 어떤 도움을 줄까요?
‘생각하는 힘’이 무얼까요?
나의 주변에서 발견할 수 있는 수학과 연관된 것은 어떤 것이 있을까요?
댓글